Jiří Pelikán se narodil v roce 1958 v Písku. Tam také navštěvoval LŠU, kde se učil hře na trubku ve třídě učitele Kinkora. V letech 1973 – 1979 studoval na Konzervatoři v Plzni, ve třídě prof. Pačese. Po absolutoriu konzervatoře byl přijat do symfonického orchestru AUS VN v Praze. Po dvouletém působení v AUS VN přijal místo v nově vznikajícím koncertním tělese v Českých Budějovicích, jehož dnešní název je Jihočeská komorní filharmonie a je zde zaměstnán dosud. V Jihočeské komorní filharmonii působí také jako sólista a má zde na svém kontě již několik desítek sólových vystoupení.

Jako sólový hráč vystupuje nejčastěji v kombinaci trubka – varhany. V roce 1998 natočil spolu s varhanicí prof. J. Chaloupkovou CD s názvem Sonáty a chorály pro trubku a varhany. Absolvoval zahraniční sólová turné (Německo, Švýcarsko) s varhaníkem M. Pšeničkou. V letech 2006-2008 byl jako sólista zván ke spolupráci s Dvořákovým komorním orchestrem.

Vedle činnosti orchestrálního, komorního a sólového hráče působí též jako pedagog na Konzervatoři a ZUŠ v Českých Budějovicích.